V průběhu léta uveřejníme tři pravdivé příběhy o tom, jak se děti učí. Mohou dobře posloužit k pochopení obecnějších teoretických konceptů, na kterých je založena Hejného matematika, ale především ukazují, co rozhoduje o tom, zda se žák ochotně podřídí autoritě, nebo zda bude intelektuálně autonomní. Nejen v matematice.
Radka (3. třída) dostala kruh jako obrázek dortu a úlohu: Kolik je polovina a třetina dortu? Dívka obrázek dortu rozdělila na šestiny. Třetinu (2 kousky) vybarvila zeleně, polovinu (3 kousky) hnědě a řekla, že jsou to tři kousky a dva kousky, tedy pět kousků. Na můj dotaz, jak veliký je ten kousek, odpověděla, že jeden je šestina. Výsledný zlomek nenapsala, protože to ještě neumí. Zeptal jsem se Radky, kolik by to bylo, kdybych k těm pěti kouskům přidal i ten šestý. Můj dotaz se jí asi zdál pitomý, protože reagovala otázkou „To jako, že jsem to nemusela krájet?“
Veronika (4. třída) dostala již úlohu strukturální: Kolik je polovina a třetina dohromady? Dlouho se dívala na ciferník hodin, a aniž by cokoli psala, odpověděla „padesát minut“. Zeptal jsem se jí, kolik by to bylo, kdybychom přidali ještě šestinu. Chvíli uvažovala, pak si na prstech počítala a řekla „jo, deset minut (pauza) dohromady je to hodina, tedy 60 minut“.
Komentář
Rozhodující je porozumění pojmům polovina a třetina uvnitř jednoho kontextu. Obě dívky situaci sémantizují. Radka krájí dort. Ví, že dojde-li k souběhu zlomků 1/2 a 1/3, je nutno celek dělit na šestiny. Zatím nevíme, zda Radka umí sčítat i jiné zlomky, například 1/2 a 1/5. Víme, že vztahu 1/2+1/3 = 5/6 rozumí, i když jej neumí zapsat.
Veronika modeluje zlomky na ciferníku: 1/2 je 30 minut, 1/3 je 20 minut, dohromady 50 minut. Chvíli dívce trvalo zjistit, že 1/6 je 10 minut. Případný rozhovor mezi Radou a Veronikou by obohatil obě dívky o porozumění zlomkům.
Smutné jsou případy, kdy rodící se porozumění jevu je vytěsněno formálním poznáním. O tom mluví epizoda, ve které opět potkáme Veroniku, tentokrát již jako žákyni 7. ročníku.
Veronika (teď už 7. třída) správně vypočítala 1/2+1/3 = (2+3)/6 = 5/6. Na můj dotaz, proč to je tak, odpověděla, že to je takové pravidlo. Ptal jsem se, proč to platí. Řekla, že to se učili, že to se tak počítá. Požádal jsem ji, aby našla součet 1/2+1/3+1/6. Chvíli se na to dívala, a pak řekla, že to ještě nebrali. Zatím umí sčítat jen dva zlomky. Navrhl jsem jí, ať si to nakreslí. Řekla, že obrázky ji matou a pak to pravidlo poplete. Nabídku cesty k porozumění odmítla.
Komentář
Veroničin poznatek křížového pravidla je formální. Převzala hotový návod a ten si nacvičila. Věří mu. Stejně by tomu věřila, kdyby byl návod vadný. Sčítání dvojice zlomků dívka neumí rozšířit na sčítání tří zlomků. Překvapuje, že dívka, která ve 4. třídě dobře úlohu vyřešila pomocí ciferníku, se k tomu po třech letech odmítá vrátit.
Proč u dívky došlo ke ztrátě porozumění pro operaci sčítání zlomků? Zřejmě proto, že přirozená cesta získání znalosti pomocí mnoha konkrétních výpočtů byla přerušena. Dívce byla nabídnuta jednoduchá procedura. Ta byla provázena přesvědčením učitele, že tímto způsobem pilný žák zvládne matematiku rychle a spolehlivě. Veronika uvěřila, že je výhodnější naučit se proceduru sčítání, než se po kouscích dobrat k pochopení postupu. Školní úspěšnost pak posílila přesvědčení dívky o výhodnosti této změny.
Rozhodování žáka, zda se bude učit vzorečky a nacvičovat procedury, nebo se bude snažit matematice porozumět, má vážnější dopad. Rozhoduje o tom, zda se tento žák ochotně podřídí autoritě, nebo zda bude intelektuálně autonomní. Nejen v matematice.
Poznávací proces Veroniky byl přerušen a nahrazen poznatkem importovaným do vědomí dívky zvenčí. Dívka ztratila potřebu procesu porozumět. Dokonce se v její meta-kognici vytvořila potřeba případným vnějším nabídkám o porozumění vzdorovat. Tím se v dívčině vědomí uzavřela cesta návratu k sémantickým modelům.
Článek naleznete na www.rodicevitani.cz
Práce s nadanými žáky od MŠ, přes 1. a 2. stupeň až po střední školy. Zúčastněte se seminářů v Praze.
